MÉTODO SIMPLEX
AUDREY SIERRA REQUENA
UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA
ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
VI SEMESTRE NOCTURNO
2013
MÉTODO SIMPLEX
NIDIA LILIANA AMAYA ARRIETA
MARIA EUGENIA AMAYA PINTO
MARTA LUQUE PELAEZ
AUDREY SIERRA REQUENA
UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA
ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
VI SEMESTRE NOCTURNO
2013
GEORGE BERNARD DANTZIG
George Bernard Dantzig (8 de noviembre de 1914 – 13 de mayo de 2005) fue un profesor, físico y matemático estadounidense, conocido por desarrollar el método simplex y es considerado como el "padre de la programación lineal". Recibió muchos honores, tales como la Medalla Nacional de Ciencia en 1975 y el premio de Teoría John von Neumann en 1974.
Fue miembro de la Academia Nacional de Ciencias, la Academia Nacional de Ingeniería y la Academia Americana de Artes y Ciencias.
Obtuvo su licenciatura en Matemáticas y Física en la Universidad de Maryland en 1936, su grado de máster en Matemáticas en la Universidad de Míchigan, y su doctorado en la Universidad de California, Berkeley en 1946. Recibió además un doctorado honorario de la Universidad de Maryland en 1976.
El padre de Dantzig, Tobias Dantzig, fue un matemático ruso que realizó estudios con Henri Poincaré en París. Tobías se casó con una estudiante de la universidad de la Sorbona, Anja Ourisson, y la pareja emigró a los Estados Unidos.
Un hecho real en la vida de Dantzig dio origen a una famosa leyenda en 1939, cuando era un estudiante en Berkeley. Al comienzo de una clase a la que Dantzig acudía con retraso, el profesor Jerzy Neyman escribió en la pizarra dos ejemplos famosos de problemas estadísticos aún no resueltos. Al llegar Dantzig a clase, pensó que los dos problemas eran tarea para casa y los anotó en su cuaderno. De acuerdo con Dantzig, los problemas "le parecieron ser un poco más difíciles de lo normal", pero unos pocos días después obtuvo soluciones completas para ambos, aún creyendo que estos eran tareas que debía entregar. Seis semanas después, Dantzig recibió la visita de un excitado profesor Neyman, quien había preparado una de las soluciones de Dantzig para ser publicadas en una revista matemática. Años después otro investigador, Abraham Wald, publicó un artículo en el que llegaba a la conclusión del segundo problema, y en el cual incluyó a Dantzig como coautor.
Esta historia comenzó a difundirse, y fue usada como una lección motivacional demostrando el poder del pensamiento positivo. A través del tiempo el nombre de Dantzig fue removido y los hechos fueron alterados, pero la historia básica persiste en la forma de mito.
El Nacimiento de la Programación Lineal
Cuando comenzó la Segunda Guerra Mundial, Dantzig interrumpió sus estudios en Berkeley para unirse a las Fuerza Aérea de los Estados Unidos como jefe de la Rama de Análisis de Combate de los Cuarteles Centrales Estadísticos, lo cual lo llevó a lidiar con las logísticas de la cadena de abastecimiento y gestión de cientos de miles de ítems y personas. Este trabajo proporcionó los problemas del "mundo real" que la programación lineal vendría a resolver.
George Dantzig se doctoró en Berkeley en 1946. Inicialmente iba a aceptar un puesto como profesor en Berkeley, pero fue persuadido por su esposa y colegas del Pentágono para volver a las Fuerzas Aéreas como consejero matemático de la USAF. Fue ahí, en 1947 donde por primera vez presentó un problema de programación lineal, y propuso el Método Simplex para resolverlo. En 1952 se convirtió en investigador matemático en la Corporación RAND,en cuyos ordenadores comenzó a implementar la programación lineal. En 1960 fue contratado por su alma máter, donde enseñó ciencias de la computación, convirtiéndose en presidente del Centro de Investigación de Operaciones. En 1966 ocupó un cargo similar en la Universidad de Stanford. Se quedó en Stanford hasta su retiro en los años 90.
Además de su trabajo significativo en el desarrollo del método simplex y la programación lineal, Dantzig también hizo avances en los campos de la teoría de la descomposición, análisis de sensibilidad, métodos de pivot complementarios, optimización a gran escala, programación no lineal, y programación bajo incertidumbre. El primer ejemplar del SIAM Jornal on Optimization en 1991 fue dedicado a él.
MÉTODO SIMPLEX
Es un procedimiento que sirve ayudar a resolver problemas de programación lineal, desarrollado por George Dantzig en 1947, y el ruso Leonid Vietaliech Kantorovich está confirmado que este método es eficiente y confiable para resolver problemas de grandes magnitudes que se puede ejecutar mediante un software.
Con el método algebraico interactivo nos permite ir mejorando la solución a cada paso del procedimiento comenzando con una solución básica(punto extremo) y modificando ésta a lo largo del proceso, a través de la inclusión y exclusión de una variable; siempre aumentado la utilidad (o reduciendo el costo) hasta encontrar una solución óptima.También nos proporciona la base para llevar a cabo en forma muy eficiente las distintas etapas del análisis post óptimo (incluye análisis de sensibilidad).
En este método simplex encontramos:
1. Una frontera de restricción: es una recta que marca el límite de lo que permite la restricción correspondiente.
2. Los puntos de intersección: son las soluciones en los vértices para el problema.
CARACTERÍSTICAS DEL MÉTODO SIMPLEX
- Es aplicable a problemas de PL multidimensionales.
- Tiene como base el álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss - Jordan.
- Es un proceso de búsqueda que se vuelve sorprendidamente eficiente para solucionar problemas muy grandes.
VENTAJAS
- El método simplex nos sirve para resolver problemas de Programación Lineal con tres o más variables, siempre que se tenga una solución factible.
- Nos sirve para solucionar problemas en donde debemos optimizar nuestros recursos de la manera más eficiente.
DESVENTAJAS
- No está diseñado para trabajar problemas de pequeñas magnitudes.
IMPORTANCIA
Este método es muy importante en el área empresarial, porque es utilizado para obtener solución a los problemas de las empresas en cuanto a inventarios, ganancias y pérdidas.
De igual forma nos permite visualizar cuánto se debe vender, cuanto se debe producir o cuánto se debe comprar según sea el caso para que la empresa obtenga ganancias óptimas y suficientes para competir en el mercado.
FORMATO ESTÁNDAR
Condiciones:
- Todas las restricciones del modelo deben formularse como ecuaciones exceptuando la restricción de No negatividad.
- Los elementos del lado derecho de una restricción no deben ser negativos.
A modo de resumen podemos dejar esta tabla, según la desigualdad que aparezca, y con el valor que deben estar las nuevas variables.
Tipo de Desigualdad
|
Tipo de Variable que aparece
|
Función Objetivo
|
≤
|
+ Holgura (S1)
|
“0”
|
=
|
+ Artificial (A1)
|
- M (Max)
+ M (Min)
|
≥
|
- Exceso ó Holgura
+ Artificial
|
“0”
-M(Max), +M(Min)
|
PROCESO DE DESARROLLO EN LA TABLA
MAXIMIZACIÓN MINIMIZACIÓN
SOLUCIÓN ÓPTIMA
|
Cuando los Coeficientes de la Función objetivo son positivos o cero “0”
|
Los coeficientes de la función objetivo son negativos (-) y cero “0”.
|
VARIABLE ENTRANTE
|
Los más negativos de la Función Objetivo (Columna Pivote).
|
Los más positivos de la Función Objetivo.
|
VARIABLE QUE SALE
|
Se dividen los valores de la columna Solución, por su valor correspondiente en la Columna pivote y se escoge la más negativa.
|
Se dividen los valores de la columna Solución, por su valor correspondiente en la Columna pivote y se escoge la más negativa.
|
PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN ESTÁNDAR
Un problema de Maximización Estándar con n incógnitas es un problema de programación lineal en lo que necesitamos maximizar (no minimizar) la función objetiva, sujeta a restricciones de la forma:
x1≥0 , x2≥0, x3≥0,....,
Ejemplo:
El siguiente es un problemas de maximización estándar:
Maximizar Z = 3x1 + 2x2 Sujeta a:
2x1 + x2 ≤ 18
2x1 + 3x2 ≤ 42
3x1 + x2 ≤ 24
x1≥0, x2≥ 0
PASOS DEL MÉTODO SIMPLEX
1. Convertir las Desigualdades en Igualdades: Se introduce una variable de Holgura por cada una de las restricciones, y formar el sistema de ecuación estándar.
VARIABLE DE HOLGURA: Se usa para convertir una variable de igualdad en una desigualdad de tipo "≤". La igualdad se obtiene al adicionar en el lado izquierdo de la desigualdad una variable no negativa, que representa el valor que le hace falta al lado izquierdo para ser igual al lado derecho; esto se conoce como variable de Holgura.
2x1 + x2 + s1 = 18
2x1 +3x2 + s2 = 42
3x1 + x2 + s3 = 24
2. Igualar la Función Objetivo a cero: Trasponiendo cada término del lado derecho al lado izquierdo, con lo cual estos términos pasarían a ser negativos.
-3x1 - 2x2 + z = 0
3. Escribir la Tabla inicial simplex:
En las columnas aparecerán todas la variables del problema y en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de función objetivo:
TABLA I Interacción No.1
BASE VARIABLE DE VARIABLES DE HOLGURAS
DECISIÓN SOLUCIÓN
x1
|
x2
|
s1
|
s2
|
s3
| ||
s1
|
2
|
1
|
1
|
0
|
0
|
18
|
s2
|
2
|
3
|
0
|
1
|
0
|
42
|
s3
|
3
|
1
|
0
|
0
|
1
|
24
|
Z
|
-3
|
-2
|
0
|
0
|
0
|
0
|
4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y variable de holgura que sale de la base:
A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la última fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor en el (valor absoluto).
En este caso la variable x1 de coeficiente -3.
- Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos.
- Si en la última fila no existe ningún coeficiente negativo, significa que ha alcanzado la solución óptima, entonces lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última no haya elementos negativos.
- La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (en color morado).
B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada término de la última columna (solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero. En nuestro caso:
18/2 =9
42/2 =21
24/3 =8
Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho coeficiente. En el caso de que todos los elemento fuesen menores o iguales que cero, entonces entrariamo una solución acotada y no se puede seguir.
El término de la columna pivote, que en la división anterior dé lugar al menor coeficiente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, s3 Esta fila se llama fila pivote (en color morado).
Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondiente pueden salir de la base.
C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote, tenemos el elemento pivote operacional 3.
5. Encontrar los Coeficientes de la nueva Tabla:
Los nuevos coeficientes de x1 se obtiene dividiendo todos los coeficientes de la fila s3 por el pivote operacional, 3, es el que tenemos que convertir en 1.
Mediante la reducción de Gaussiana se hacen cero los restantes términos de su columna, con los que se obtienen los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.
Igualmente podemos utilizar el siguiente esquema:
Fila del Pivote:
Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote) * (Pivote)
Resto de la filas:
Nueva fila=(Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) * (Nueva fila del pivote)
Por ejemplo:
Vieja filas de s3
|
2
|
3
|
0
|
1
|
0
|
42
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
| |
Coeficientes
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
*
|
*
|
*
|
*
|
*
|
*
| |
Nueva fila pivote
|
1
|
1/3
|
0
|
0
|
1/3
|
8
|
=
|
=
|
=
|
=
|
=
|
=
| |
Nueva fila de s2
|
0
|
7/3
|
0
|
1
|
-2/3
|
26
|
Tabla II Interacción No.2
BASE VARIABLE DE VARIABLE DE HOLGURA
DECISION SOLUCION
x1
|
x2
|
s1
|
s2
|
s3
| ||
s1
|
0
|
1/3
|
1
|
0
|
-2/3
|
2
|
s2
|
0
|
7/3
|
0
|
1
|
-2/3
|
26
|
x2
|
1
|
1/3
|
0
|
0
|
1/3
|
8
|
Z
|
0
|
-1
|
0
|
0
|
1
|
24
|
Se puede observar que el elemento de la última fila hay uno negativo, -1, significa que todavía no se ha llegado a la solución óptima; lo cual es necesario repetir el proceso:
- La variable que entra en la base es x2, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1.
- Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote:
2 / 1/3=6
26 / 7/3 =78/7
8 / 1/3=8
Tabla III Interacción No.3
BASE VARIABLE DE VARIABLE DE HOLGURAS
DECISIÓN SOLUCIÓN
x1
|
x2
|
s1
|
s2
|
s3
| ||
x2
|
0
|
1
|
3
|
0
|
-2
|
6
|
s2
|
0
|
0
|
-7
|
0
|
4
|
12
|
x1
|
1
|
0
|
-1
|
0
|
1
|
6
|
Z
|
0
|
0
|
3
|
0
|
-1
|
30
|
Todavía podemos observar que el elemento de la última fila, hay uno negativo, -1, significa que todavía no se ha llegado a la solución óptima. hay que repetir el proceso nuevamente:
- La variable que entra en la base s2, por ser la variable correspondiente al coeficiente -1.
- Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote:
6/-2 = -3
12/4 =3
6/1 = 6
y como menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable holgura que sale es s1.
- El elemento pivote, que ahora hay que hacer es 4.
Obtenemos la tabla:
Tabla IV. Final del proceso
BASE VARIABLE DE VARIABLE DE HOLGURA
DECISIÓN SOLUCIÓN
x1
|
x2
|
s1
|
s2
|
s3
| ||
x2
|
0
|
1
|
-1/2
|
0
|
0
|
12
|
s3
|
0
|
0
|
-7/4
|
0
|
1
|
3
|
x1
|
1
|
0
|
-3/4
|
0
|
0
|
3
|
Z
|
0
|
0
|
5/4
|
0
|
0
|
33
|
Como todos los coeficiente de la fila de la Función Objetivos son positivos, hemos llegado a la solución óptima.
La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en este caso: 33, en la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza, observando la fila correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: s3:(3,12).
METODO SIMPLEX PARA PROBLEMAS DE MINIMIZACIÓN
Para este método el proceso es igual al de maximización lo diferente son las variables artificiales que entran como parte de la solución.
Para solucionar problemas de minimización por el método simplex, se convierte el problema en un problema de maximización.
Como ya observamos la metodología que se aplica en el método de maximización, procedemos a resolver el siguiente problema:
Ejemplo:
El atleta Andrés Rodríguez, debe tomar por lo menos 125 unidades de vitamina A, 350 unidades de vitaminas B y 600 unidades de vitaminas C cada dia. Hay dos productos P1 y P2 cada frasco contiene las siguientes unidades de esas vitaminas.
A
|
B
|
C
| |
P1
|
1
|
1
|
2
|
P2
|
0
|
1
|
1
|
Si el precio de un frasco de P1 es de 2€ y el del frasco P2 es de 3€ , averigua cómo deben mezclarse ambos productos para obtener la dieta deseada con el mínimo precio.
Min Z= 2X1 + 3X2
Sujeto a:
x1 ≥ 125
x1 + x2 ≥ 350
2x1 + x2 ≤ 600
x1,x2 ≥ 0
FORMATO ESTÁNDAR
MIN Z= 2X1 + 3X2-0S1-0S2-0S3+MA1+MA2 Función objetivo
x1 -S1 +A1 = 125
x1 + x2 -S2 +A2 = 350
2x1 + x2 +S3 = 600
x1,x2,S1,S2,S3,A1,A2 ≥0
IGUALAMOS LA FUNCIÓN OBJETIVO A (0)
MIN Z= 2X1 + 3X2-0S1-0S2-0S3+MA1+MA2
Z= 2X1 + 3X2-0S1-0S2-0S3+MA1+MA2
Z -2x1-3x2+0s1+0s2+0s3-MA1-MA2=0
TABLA 1
VALOR BASE
|
Z
|
X1
|
X2
|
S1
|
S2
|
S3
|
A1
|
A2
|
SOLUCIÓN
|
Z
|
1
|
-2
|
-3
|
0
|
0
|
0
|
-M
|
-M
|
0
|
A1
|
0
|
1
|
0
|
-1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
125
|
A2
|
0
|
1
|
1
|
0
|
-1
|
0
|
0
|
1
|
350
|
S3
|
0
|
2
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
600
|
0 M 0 -M 0 0 M 0 125M
0 M M 0 -M 0 0 M 350M
0 2M M 0 0 M 0 0 600M
0 4M 2M -M -M M M M 1.075M
Z 1 -2 -3 0 0 0 -M -M 0
1 -2+4M -3+2M -M -M M 0 0 1.075M
A continuación calculamos la Variable que Entra y la que Sale de la siguiente forma:
Para determinar la Variable que Entra: tomamos el valor mayor que está en la función objetivo, en forma de columna.
TABLA 2
VALOR BASE
|
Z
|
X1
|
X2
|
S1
|
S2
|
S3
|
A1
|
A2
|
SOLUCIÓN
|
Z
|
1
|
-2+4M
|
-3+2M
|
-M
|
-M
|
M
|
0
|
0
|
1.075M
|
A1
|
0
|
1
|
0
|
-1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
125
|
A2
|
0
|
1
|
1
|
0
|
-1
|
0
|
0
|
1
|
350
|
S3
|
0
|
2
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
600
|
Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna (Solución) entre los términos correspondientes de la columna pivote; el de menor valor se determina como fila pivote: (Número Pivote).
- A1 = 125/1 = 125
- A2 = 350/1 = 350
- S3 = 600/2 = 300
Para hallar el resto de las filas, aplicamos la siguiente fórmula: FV-(CP*FN)
- FV = Fila Vieja
- CP = Coeficiente Pivote
- FN = Fila Nueva
Estos serán los valores correspondientes a la nueva tabla que se observan de color azul.
FV A1= 0 1 0 -1 0 0 1 0 125
CP 1
FN X1= 0 1 0 -1 0 0 1 0 125
FV A2= 0 1 1 0 -1 0 0 1 350
CP -(1)
FN X1= 0 1 0 -1 0 0 1 0 125
A2= 0 0 1 1 -1 0 -1 1 225
FV S3= 0 2 1 0 0 1 0 0 600
CP -(2)
FN X1= 0 1 0 -1 0 0 1 0 125
S3= 0 0 1 2 0 1 -2 0 350
FV Z= 1 -2+4M -3+2M -M -M M 0 0 1.075M
CP -(-2+4M)
FN X1= 0 1 0 -1 0 0 1 0 125
Z= 1 0 -3+2M -2+3M -M M 2 -4M 0 250+575M
TABLA 3
VALOR BASE
|
Z
|
X1
|
X2
|
S1
|
S2
|
S3
|
A1
|
A2
|
SOLUCIÓN
|
Z
|
1
|
0
|
-3+2M
|
-2+3M
|
-M
|
M
|
2-4M
|
0
|
250+575M
|
X1
|
0
|
1
|
0
|
-1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
125
|
A2
|
0
|
0
|
1
|
1
|
-1
|
0
|
-1
|
1
|
225
|
S3
|
0
|
0
|
1
|
2
|
0
|
1
|
-2
|
0
|
350
|
Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna (Solución) entre los términos correspondientes de la columna pivote; el de menor valor se determina como fila pivote: (Número Pivote).
- X1 = 125/-1 NO ES PERMITIDO
- A2 = 225/1 = 225
- S3 = 350/2 = 175
Cuando en la columna pivote se encuentra un número negativo, no se tiene en cuenta por lo tanto no es dividido la solución con este, lo cual se descarta.
FV S3= 0 0 1 2 0 1 -2 0 350
CP 2
FN S1= 0 0 1/2 1 0 1/2 -1 0 175
FV A2= 0 0 1 1 -1 0 -1 1 225
CP -(1)
FN S1= 0 0 1/2 1 0 1/2 -1 0 175
A2= 0 0 1/2 0 -1 -1/2 0 1 50
FV X1= 0 1 0 -1 0 0 1 0 125
CP -(-1)
FN S1= 0 0 1/2 1 0 1/2 -1 0 175
X1= 0 1 1/2 0 0 1/2 0 0 300
FV Z= 1 0 -3+2M -2+3M -M M 2-4M 0 250+575M
CP -(-2+3M)
FN S1= 0 0 1/2 1 0 1/2 -1 0 175
Z= 1 0 -2+1/2M 0 -M 1-1/2M -M 0 600+50M
TABLA 4
VALOR BASE
|
Z
|
X1
|
X2
|
S1
|
S2
|
S3
|
A1
|
A2
|
SOLUCIÓN
|
Z
|
1
|
0
|
-2+1/2M
|
0
|
-M
|
1-1/2M
|
-M
|
0
|
600+50M
|
S1
|
0
|
0
|
1/2
|
1
|
0
|
1/2
|
-1
|
0
|
175
|
X1
|
0
|
1
|
1/2
|
0
|
0
|
1/2
|
0
|
1
|
300
|
A2
|
0
|
0
|
1/2
|
0
|
-1
|
-1/2
|
0
|
1
|
50
|
Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna (Solución) entre los términos correspondientes de la columna pivote; el de menor valor se determina como fila pivote: (Número Pivote).
- S1 = 175/1/2 = 350
- X1 = 300/1/2 = 600
- A2 = 50/1/2 = 100
FV A2= 0 0 1/2 0 -1 -1/2 0 1 50
CP 1/2
FN X2= 0 0 1 0 -2 -1 0 2 100
FV X1= 0 1 1/2 0 0 1/2 0 0 300
CP -(1/2)
FN X2= 0 0 1 0 -2 -1 0 2 100
X1= 0 1 0 0 -1/4 1 0 -1 250
FV S1= 0 0 1/2 1 0 1/2 -1 0 175
CP -(1/2)
FN X2= 0 0 1 0 -2 -1 0 2 100
S1= 0 0 0 1 1/4 1 -1 -1 125
FV Z= 1 0 -2+1/2M 0 -M M -M 0 600+50M
CP -(-2+3M)
FN X2= 0 0 1 0 -2 -1 0 2 100
Z= 1 0 0 0 -1-3/4M -1 -M 4-M 800M
¿De qué manera probamos este proceso?
R/ta : Reemplazamos los valores correspondiente en las variables de la función objetivo. Ejemplo: 2x1 + 3x2 Función objetivo
2(250) + 3(100) = 800
500 + 300 = 800
800 = 800
R/ta: Por medio del método simplex hemos encontrado la solución para el Atleta Andrés Rodríguez, del cual necesitaba saber cuánto era el precio mínimo de la mezcla del producto P1 y P2, y llegamos al resultado óptimo por valor de 800€.
TABLA 5 FINAL DEL PROCESO
VALOR BASE
|
Z
|
X1
|
X2
|
S1
|
S2
|
S3
|
A1
|
A2
|
SOLUCIÓN
|
Z
|
1
|
0
|
0
|
0
|
-1-3/4M
|
-1
|
-M
|
4-M
|
800
|
X1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
-1/4
|
1
|
0
|
-1
|
250
|
X2
|
0
|
0
|
1
|
0
|
-2
|
-1
|
0
|
2
|
100
|
S1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1/4
|
1
|
-1
|
-1
|
125
|
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